47 brauchen nur den Nenner n so groB zu wahlen, daB das Intervall [0,
Ijn] kleiner wird als das fragliche Intervall [A, B], dann muB
mindestens einer der Bruche mIn innerhalb des Intervalls liegen. Also
kann es kein noch so kleines Intervall auf der Achse geben, das von
rationalen Punkten frei ware. Es folgt weiterhin, daB es in jedem
Intervall unendlich viele rationale Punkte geben muB; denn wenn es nur
eine endliche Anzahl gabe, so konnte das Intervall zwischen zwei
beliebigen benachbarten Punkten keine rationalen Punkte enthalten, was,
wie wir eben sahen, unmoglich ist. § 2. Inkommensurable Strecken,
irrationale Zahlen und der Grenzwertbegriff 1. Einleitung Vergleicht man
zwei Strecken a und b hinsichtlich ihrer GroBe, so kann es vor- kommen,
daB a in b genau r-mal enthalten ist, wobei r eine ganze Zahl darstellt.
In diesem Fall konnen wir das MaB der Strecke b dUrch das von a
ausdrucken, indem wir sagen, daB die Lange von b das r-fache der Lange
von a ist. Oder es kann sich zeigen, daB man, wenn auch kein ganzes
Vielfaches von a genau gleich b ist, doch a in, sagen wir, n gleiche
Strecken von der Lange ajn teilen kann, so daB ein ganzes Vielfaches m
der Strecke ajn gleich b wird: b=!!!...-a.
