Dieses Buch will in das Gebiet der "Stochastischen Analysis" einführen.
Was ist unter dieser Begriffsverbindung zu verstehen? Würde man die
Stochastik beiseite lassen und nur den deterministischen Spezialfall der
Theorie betrachten, so bliebe ein Stück klassischer Analysis für
Funktionen einer reellen Variablen, vor allem Grenzwerttheorie,
Differential- und Integralrechnung und die Theorie gewöhnli- cher
Differentialgleichungen. Nimmt man aber eine geeignete
Zufallsabhängigkeit hinzu, so eröffnet sich ein moderner Zweig der
Theorie der Stochastischen Prozesse mit neuartigen rechnerischen
Möglichkeiten und unerwarteten Einsichten. Diese beschränken sich
keineswegs auf stochastische Zusammenhänge, etwa ein tieferes
Verständnis der Brownschen Bewegung und ihrer fundamentalen Rolle in der
Be- schreibung von Fluktuationsphänomenen. Vielmehr erlaubt die
Einbeziehung des Zufalls als eines weiteren Freiheitsgrades in die
Analysis Brückenschläge zu an- deren Gebieten der Mathematik und
Mathematischen Physik. So ergeben sich Querverbindungen zwischen
partiellen Differentialgleichungen und stochastischen gewöhnlichen
Differentialgleichungen; das Studium stochastischer Flüsse auf Man-
nigfaltigkeiten ist eng mit deren Geometrie (insbesondere Krümmung)
verknüpft; Pfadintegraldarstellungen von Schrödinger-Halbgruppen
präzisieren und begrün- den physikalische Betrachtungsweisen von Dirac
und Feynman über den Zusam- menhang von klassischer und
Quantenmechanik - und vieles andere. Ein kurzes Wort zu den Absichten
dieses Textes. Zunächst sei eingestanden, daß unser Ausgangspunkt und
damit auch die Argumentationsweise in erster Linie analytisch ist, was
bedeuten soll, daß wir im Zweifel etwa einem detaillierten maß-
theoretischen oder (im letzten Kapitel) differentialgeometrischen vor
einem mehr intuitiven probabilistischen Argument den Vorzug gegeben
haben.
