In diesem Lehrbuch wird der Spektralsatz für selbstadjungierte
Operatoren aus dem Resultat der Linearen Algebra über die
Diagonalisierung Hermitescher Matrizen hergeleitet. Dabei werden
Lebesgue-Stieltjes-Integrale verwendet und der Auswahl- sowie der
Konvergenzsatz von Helly über monotone Funktionen bereitgestellt.
Wir konstruieren die Spektralschar durch eine technisch aufwändige
Approximation, wobei die Stieltjes-Umkehrformel im Zentrum des Beweises
steht. Ein Ergebnis hiervon ist, dass selbstadjungierte Operatoren nicht
nur ein diskretes, sondern auch ein kontinuierliches Spektrum besitzen.
Die auftretenden Streueigenwerte können hierbei nicht durch
Variationsmethoden gewonnen werden.
Dann wenden wir uns der zentralen Frage zu, welche elliptischen
Differentialoperatoren eine selbstadjungierte Fortsetzung besitzen und
somit im Geltungsbereich des Spektralsatzes liegen. Hier unterscheiden
wir zwischen stabilen elliptischen Differentialoperatoren auf
beschränkten Gebieten und denen auf dem ganzen Raum, wie etwa dem
Schrödingeroperator. Auch Laplace-Beltrami-Operatoren und der
Schwarzsche Operator für Minimalflächen werden im obigen Sinne als
selbstadjungiert erkannt.
Am Ende dieses Buches geben wir eine Einführung in die Störungstheorie
selbstadjungierter Operatoren. Hier weisen wir die analytische
Abhängigkeit der Spektralschar vom Störungsparameter nach.
Dieses Werk zur Spektraltheorie ist insbesondere für das
fortgeschrittene Mathematik- und Physikstudium geeignet, Kenntnisse in
der Funktionalanalysis und der Theorie elliptischer
Differentialgleichungen werden vorausgesetzt.
