Bachelorarbeit aus dem Jahr 2014 im Fachbereich Mathematik - Sonstiges,
Note: 1,3, Technische Universität München (Zentrum Mathematik), Sprache:
Deutsch, Abstract: Die Finite-Elemente-Methode hat ihren Ursprung in den
1950er Jahren, als Ingenieure erstmals die Methoden der Analysis mit der
Variationsrechnung der Kontinuumsmechanik kombinierten. Mitte der 1960er
erschienen unabhängig voneinander mehrere Publikationen, die sich mit
der Konstruktion und Analysis von Finite-Differenzen-Schemata für
elliptische Probleme mithilfe von Variationsmethoden beschäftigten. Zu
nennen sind hier Céa, Demjanovic, Feng, Friedrichs und Keller und
Oganesjan und Ruchovets. Aus dem Studium stetiger
Approximationsfunktionen entwickelte sich schließlich die Theorie der
Finiten Elemente. Allgemeines zur Mathematik der Finiten Elemente für
elliptische Probleme findet sich z.B. bei Babuska und Aziz, Strang und
Fix, Ciarlet sowie Brenner und Scott. Die Entwicklung einer
entsprechenden Methode für parabolische Probleme begann um 1970, als die
Finite-Differenzen-Analysis für derartige Probleme bereits weit
fortgeschritten war. Diese Bachelorarbeit ist das Ergebnis meiner
Independent Studies des akademischen Jahres 2014 am Lehrstuhl für
Optimale Steuerung der TU München. Nach dieser kurzen Einleitung werde
ich einen Einblick in die zeitliche Galerkin-Diskretisierungsmethode
parabolischer Differentialgleichungen sowie Theorie und Analysis
linearer Probleme geben. Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt
allerdings auf effzienten numerischen Realisierungen des titelgebenden
Verfahrens, die im Anschluss an die Theorie präsentiert werden. Für
weitergehende Fehlerabschätzungen und Stabilitätsaussagen der
Galerkin-Verfahren für parabolische Probleme sei auf Thomée verwiesen.
Als Standardwerke für die mathematische Theorie elliptischer und
parabolischer Differentialgleichungen möchte ich noch Evans, sowie Lions
und Magenes und Friedman nennen.
