Ziel des Buches ist das Studium von Symmetrien und Parkettierungen, die
Künstler und Mathematiker schon seit langer Zeit interessieren. Berühmte
Beispiele sind die von den Arabern in der Alhambra geschaffenen Werke
und die Bilder des holländischen Malers Maurits Escher. Die Mathematiker
haben sich erst im 19. Jahrhundert des Themas intensiv angenommen. Dabei
führt die Visualisierung der mathematischen Zusammenhänge zu sehr
ansprechenden Bildern. Drei Ansätze werden in diesem Buch beschrieben.
In Teil I wird dargestellt, dass es 17 prinzipiell verschiedene
Möglichkeiten von Parkettierungen der Ebene gibt, die so genannten
"Ebenen Kristallgruppen". Ergänzend dazu werden Ideen von Harald Heesch
beschrieben, der zeigte, wie diese theoretischen Ergebnisse praktisch
umgesetzt werden können: Er gab einen Katalog von 28 Verfahren an, die
man selbst - sozusagen auf den Spuren von Escher - kreativ zur Schaffung
künstlerisch anspruchsvoller Parkettierungen verwenden kann.
Bei den entsprechenden Untersuchungen für die komplexe Ebene in Teil II
werden Bewegungen durch bijektive holomorphe Abbildungen ersetzt. Das
führt in die Theorie der Gruppen von Möbiustransformationen: Kleinsche
Gruppen, Schottkygruppen usw. Dort gibt es auch interessante
Verbindungen zur hyperbolischen Geometrie.
Schließlich wird in Teil III noch ein dritter Aspekt des Themas
behandelt, die Penroseparkettierungen. Dabei geht es um Ergebnisse aus
den siebziger Jahren, als erstmals einfach zu beschreibende und
beweisbar nichtperiodische Parkettierungen der Ebene angegeben wurden.
