Zur Theorie der Chebyshev-Approximation stetiger Funktionen gibt es eine
Reihe ausgezeichneter Lehrbücher. Behandelt werden dort vor allem
Probleme, die in Verallgemeinerung des klassischen Pro- blems der
Approximation durch Polynome eine spezielle Vorausset- zung - die sog.
Haar-Bedingung - in irgendeiner Form erfüllen, was eine ganze Reihe
angenehmer Konsequenzen hat hinsichtlich der Cha- rakterisierung und der
Eindeutigkeit der Lösungen. Dies setzt sich fort in den numerischen
Verfahren zur Berechnung bester Approxima- tionen, die, wie etwa die
bekannten Remes-Verfahren, auf diese speziellen Probleme zugeschnitten
sind und bei nicht erfüllter Haar-Bedingung entweder völlig versagen
oder nicht mehr effizient sind. Auf der anderen Seite führt eine ganze
Reihe wichtiger An- wendungen auf Probleme, die für die Haar-Bedingung
nicht erfüllt ist; sei es, daß Funktionen in mehreren Variablen zu
approximieren sind, was die Haar-Bedingung grundsätzlich ausschließt,
oder daß man wie bei der Behandlung gewisser Randwertprobleme in der
Wahl der Ansatzfunktionen nicht frei ist, oder daß die approximierenden
Funktionen noch zusätzliche Nebenbedingungen erfüllen sollen. Das
hauptsächliche Anliegen dieses Buches ist es, diese Lücke zu schließen
und eine Palette derzeit verfügbarer Methoden darzustel- len, die unter
praxisnäheren Voraussetzungen arbeiten. Hierzu bie- tet es sich an, das
Approximationsproblem als Optimierungsaufgabe zu formulieren und zu
behandeln, da einerseits bei Wegfall der Haar-Bedingung das
Chebyshev-Approximationsproblem kaum mehr Struktur als allgemeine
Optimierungsprobleme aufweist, und ander- erseits auf diese Art die weit
entwickelten, leistungsfähigen Me- thoden der Optimierung für die
Approximation nutzbar werden.
