Wir betrachten eine Methode zur effizienten numerischen Lösung einiger
li- nearer Operatorgleichungen, dies können sowohl Integral-, als auch
Differen- tialoperatoren sein. Zu diesem Zweck schlagen wir eine
Wavelet-oder Multi- skalendarstellung vor. Wir zeigen, daß unter
gewissen Voraussetzungen an die Basen und die Operatoren die
auftretenden Matrizen gleichmäßig konditio- niert und numerisch dünn
besetzt sind. Wir zeigen, daß man diese Matrizen durch clünn besetzte
ersetzen kann, um damit das entstehende Gleichungssy- stem mit optimalem
Aufwand O(N) oder zumindest fastoptimalen Aufwand 0( N log N) zu lösen,
ohne die bestmögliche Konvergenzrate des zugrunde- liegenden Verfahrens,
in der Regel Galerkin-oder Kollokationsverfahren, zu verletzen.
Chemnitz, im Januar 1998 R. Schneider Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 7
1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 7 1.2 Ziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 9 1.3 Beispiele von Problemen die zu großen voll
besetzten Matrizen führen 11 1.4 Phasenraumlokalisierung und
Multiresolutionsanalyse 13 1.5 Inhaltsübersicht . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 17 2 Grundlegende Definitionen 21 3
Pseudodifferentialoperatoren auf glatten Mannigfaltigkeiten 25 4 Einige
praktische Beispiele 35 4.1 Operatoren der Ordnung Null . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 35 . . . . . 4.2 Stark Elliptische
Randintegralgleichungen der Ordnung Null . . . . . . 36 . 4.3 Operatoren
beliebiger Ordnung r: j; 0 und Integralgleichungen erster Art 44 5
Multiskalenbasen 53 5.1 Ziele ..... . 53 .5.2
Multiskalen-Transformationen ...... . 62 5.3 Multiskalenbasen auf
periodischem Gitter . 80 .5.4 Lokale Konstruktion für
Mannigfaltigkeiten. 81 5.4.1 Multiwavelets ............ . 81 5.4.2
Multiskalenräume stetiger Funktionen . 89 5.5 Momentenbedingung . . . .
. 94 5.6 Beispiele ........... . 97 5. 7 Der Unterteilungsalgorithmus
101 5.8 Interpolationsbasen ..... . 109 6 Approximationsverhalten und
Normcharakterisierung 113 6.1 Approximation und Regularität ..
