Diplomarbeit aus dem Jahr 1998 im Fachbereich Mathematik - Angewandte
Mathematik, Note: sehr gut, Eberhard-Karls-Universität Tübingen
(Mathematische Fakultät), Sprache: Deutsch, Abstract: Eigenwerte von
Matrizen zu berechnen ist ein Problem, das häufig in
naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen auftritt. In der Theorie
kann man mit Hilfe von Eigenwerten unter anderem Aussagen über die
Stabilität von dynamischen Systemen machen. Außerdem spielen sie in der
Stochastik, z.B. bei Markov-Ketten (Übergangswahrscheinlichkeiten,
Brownsche Bewegung), eine wichtige Rolle. Nun einige Beispiele aus
praktischen Anwendungen: - in der Physik bei Schwingungsproblemen - in
der Chemie bei Verbrennungsprozessen - in der Makroökonomie bei der
Überprüfung von Marktstabilität - in der Biologie bei
Populationsmodellen Die hierbei auftretenden Fragen bzw. Aufgaben sind
z.B.: Wie berechnet man - alle Eigenwerte und/oder alle Eigenvektoren
für eine kleine Matrix (bis 10^3*10^3)? - einen Eigenwert und/oder den
zugehörigen Eigenvektor (betragsgrößter, -kleinster, mit größtem
Realteil, ...)? - einige wenige Eigenwerte und gegebenenfalls die
zugehörigen Eigenvektoren? - einen Eigenvektor zu einem bekannten
Eigenwert (Markov-Ketten) Bei kleinen Matrizen, das heißt Matrizen der
Größenordnung bis etwa 10^3*10^3, können diese mittels
Householder-Transformationen auf Hessenberg-Form bzw. im hermiteschen
Fall auf Tridiagonal-Form zurückgeführt werden. Dann kann man z.B. mit
der QR-Zerlegung die gewünschten Eigenwerte und/oder die zugehörigen
Eigenvektoren berechnen. In dieser Arbeit sollen Matrizen in der
Größenordnung 10^3*10^3 bis 10^6*10^6 betrachtet werden. Da die
erwähnten Standard-Algorithmen einen zu hohen Rechen- und
Speicheraufwand verursachen, versucht man mittels Projektionsverfahren
dieses große Problem auf ein kleines zu reduzieren, um darauf die
Standardtechniken wieder anwenden und somit einen Teil des Spektrums
approximieren zu können. Diese Arbeit hat die "Konvergenz von Kry
