Die Theorie der Kategorien hat sich rasch entwickelt. Die Begriffe und
Methoden, de- ren Behandlung sich das vorliegende Buch zum Ziel setzt,
lassen sich jetzt nutzbringend von Mathematikern anwenden, die auf
verschiedenen anderen Gebieten der Mathematik forschen. Die Darstellung
erfolgt in mehreren Stufen. Auf der ersten Stufe liefern Ka- tegorien
eine brauchbare Begriffssprache, der die Begriffe "Kategorie",
"Funktor", "nattirliche Transformation", "Kontravarianz" und
"Funktorkategorie" zugrunde liegen; sie werden - zusammen mit geeigneten
Beispielen - in den Kapiteln I und II behandelt. Der fundament ale
Begriff eines Paares adjungierter Funktoren schlieBt sich an, der in
vielen, im wesentlichen einander gleichwertigen Formen auftritt: als
universelle Kon- struktion, als Limes und Colimes sowie als Paar von
Funktoren - zusammen mit einem nattirlichen Isomorphismus zwischen
entsprechenden Pfeilmengen. AIle diese Formen und ihre wechselseitigen
Beziehungen werden in den Kapiteln III - V untersucht. Man konnte sagen:
"Adjungierte Funktoren treten tiberall auf". Der fundamentale Begriff in
der Theorie der Kategorien ist derjenige eines Monoids, d. h. einer
Menge mit einer zweistelligen Verkntipfung (Multiplikation), die
assoziativ ist und eine Einheit besitzt. Eine Kategorie selbst HiBt sich
als eine Art verallgemei- nertes Monoid auffassen. In den Kapiteln VI
und VII werden dieser Begriff und seine Verallgemeinerungen studiert;
seine enge Beziehung zu Paaren adjungierter Funktoren erhellt die
Begriffsbildungen der universellen Algebra und gipfelt im Satz von Beck,
der Kategorien von Algebren charakterisiert.
