Zum Aufbau einer geeigneten, umfassenden Differentialrechnung in
allgemei- neren als normierten Räumen benötigt man bekanntlich
Konvergenzbegriffe, die nur in Spezialfällen Topologien definieren. Das
zeigt sich insbesondere beim Nachweis der Kettenregel höherer Ordnung.
Will man etwa die Kettenregel zweiter Ordnung für Abbildungen t: X 0--+
Y und g: Y 0--+ Z beweisen, so bringt man die in der Kettenregel erster
Ordnung auftretende Beziehung D(g 0 f) (x) = = Dg(t(x)) 0 Dt(x) unter
Benutzung der Kompositionsabbildung y von L(X, Y) X L(Y, Z) in L(X, Z)
in die Form D(g 0 f) (x) = (y 0 (Dt, Dg 0 t» (x). Der Nachweis der
Kettenregel zweiter Ordnung erfolgt dann mittels der Ketten- regel
erster Ordnung, wobei man die Voraussetzungen so einrichtet, daß (Dt, Dg
0 t> in x und y in (Dt, Dg 0 t> (x) differenzierbar ist. Die
Forderung, daß y differenzierbar ist, erweist sich als sehr
einschränkend. Verlangt man, daß die Differenzierbarkeit die Stetigkeit
nach sich zieht, so ist diese Forderung in Bezug auf
Vektorraumtopologien von L(X, Y), L(Y, Z) und L(X, Z) im all- gemeinen
nicht erfüllt, zumindest nicht, wenn man noch annimmt, daß die
Vektorraumtopologien so beschaffen sind, daß im Falle X = R oder C die
natür- lichen Zuordnungen zwischen Y und L(X, Y) und zwischen Z und L(X,
Z) Iso- morphien sind.