von RIEMANNS Habilitationsvortrag (aus den 1876 bei Teubner erschienenen
"Gesam- melten Mathematischen Werken" [11]), so daB wir hier darauf
verzichten konnen. Uber die philosophischen Betrachtungen, die im
Zusammenhang mit der Entwick- lung der Theorie der Parallelen und der
nicht-euklidischen Geometrie angestellt wor- den sind, ist so viel
geschrieben worden (schon GAUSS hat Bemerkungen dazu ge- macht; siehe
etwa [35, S. 27/28; vgl. S. 33/34 dieses Bandes]), daB es unmoglich
ist, im Rahmen dieses Buches darauf einzugehen. Zwei der Hauptfragen,
nlimlich wie weit die euklidische oder die nicht-euklidische Geometrie
unsere rliumliche Situation er- fassen konnen und wie es mit der inneren
Widerspruchsfreiheit der nicht-euklidischen Geometrie steht, sind im
Laufe meines Textes [35] immer wieder behandelt worden, so daB diese
Betrachtungen hier nicht erweitert werden. Die Vorgehensweisen von
GAUSS, BOLYAI und LoBATSCHEWSKI einerseits und KLEIN andererseits waren
einander entgegengesetzt. Die ersteren gingen rein hypothetisch vor: Sie
untersuchten die Frage, wie eine Geometrie aussehen miisse, in der das
Paral- lelenaxiom nicht gelte, setzten also voraus, daB es eine solche
Geometrie gibt, und muBten damit rechnen, daB bei nOlh weitergehenden
Untersuchungen Widerspruche auftauchen wiirden. Sie zeigten also: Es
gibt im wesentlichen hiichstens eine solche Geometrie. KLEIN dagegen gab
ein konkretes Beispiel fUr eine solche Geometrie an, indem er die auf
der projektiven MaBbestimmung beruhende Cayleysche Geometrie als Modell
fUr eine nicht-euklidische Geometrie erkannte. Da dieses Modell auf der
projektiven Geometrie beruhte, die man als widerspruchsfrei ansieht,
hatte er damit ein Modell fUr die nicht-euklidische Geometrie angegeben.
