In diesem Buch wird ein ziemlich junges Gebiet der algebraischen
Zahlentheorie behandelt. Es geht um die algebraische Theorie der
p-Erweiterungen, die sich in den letzten 25 Jahren entwickelte und jetzt
einen Vollkommenheitsgrad erreicht hat, welcher eine systematische
Darstellung im hochsten MaBe wiinschenswert erscheinen HiBt. Diese
Richtung in der Arithmetik beschiiftigt sich mit der Theorie der
endlichen Erweiterungen von Korpem arithmetischen Typs. Das sind die .
)J-adischen Zahl- korper, die Korper der formalen Potenzreihen mit
endlichen Konstantenkorpem, die algebraischen Zahlkorper und die
algebraischen Funktionenkorper in einer Unbestimmten mit endlichem
Konstantenkorper. Ihr Hauptziel besteht darin, tiber die Informationen
hinauszugelangen, welche die klassische Klassenkorpertheorie liefert,
die bekanntlich einen Dberblick tiber die Erweiterungen mit kommutativer
Galoisscher Gruppe gibt. Die KommutativiHit der Galoisschen Gruppe ist
dabei sehr wesentlich. Die Klassenkorpertheorie ist dadurch ideenmaBig
eng verbunden mit einem weiten Kreis mathematischer Theorien: von der
Theorie der Radikal- erweiterungen (die jetzt als Kummersche Theorie
bezeichnet wird) bis zu topologischen Dualitatssatzen, der Theorie der
abelschen und harmonischen Integrale und den Picard-Mannigfaltigkeiten.
Die gruppentheoretische Grundlage aller dieser Fragen ist die
Pontrjagin-Dualitat kommutativer Gruppen und ihrer Charaktergruppen. Es
ist dies der Tell der Mathematik, den A. WElL als "abelsche Mathematik"
bezeichnet hat. Bekanntlich ging HILBERT beim Aufbau der
Klassenkorpertheorie von der Analogie zwischen algebraischen Zahl-und
Funktionenkorpem, d. h. den Korpem der mero- morphen Funktionen auf
kompakten Riemannschen Flachen, aus. Von diesem Gesichtspunkt aus muB
eine "nichtkommutative" Verallgemeinerung der Klassen- korpertheorie der
Untersuchung der Fundamentalgruppe einer Riemannschen Flache
entsprechen, die bekanntlich nichtkommutativ ist.
