Neue Blicke durch die alten Locher G. CH. liCHTENBERG o.
Funktionentheorie ist nach klassischem Sprachgebrauch die Theorie der
holomorphen Funktionen einer komplexen Veranderlichen. Der BegrifT der
holomorphen Funktion kann im wesentlichen auf drei Weisen eingefUhrt
werden: einmal durch die Forderung nach komplexer DifTerenzierbarkeit,
zum anderen durch die Bedingung der Existenz einer Stammfunktion im
Kleinen, und schlieBlich durch die Voraussetzung der lokalen
Entwickelbar keit in eine Potenzreihe. Durch die Aquivalenz dieser
methodisch verschiedenen Definitionen gewinnt die Funktionentheorie zu
ihrem Reichtum die Ge schlossenheit hinzu, urn derentwillen C. L. Siegel
sie in seinen Vorlesungen als ein einmaliges Geschenk an die
Mathematiker bezeichnet. Dieses Taschenbuch ist der erste Teil einer
zweibandigen Darstellung der Grundlagen der Funktionentheorie, die auf
eine an der Universitat MUnster im Sommersemester 1968 und
Wintersemester 1968/69 yom zweiten der beiden Autoren gehaltene
Vorlesung zurUckgeht. Die beiden Zugange zur Funktionen theorie, die
Cauchysche Theorie der komplex difTerenzierbaren Funktionen
einschlieBlich der Theorie der Stammfunktionen und die WeierstraBsche
Theorie der in Potenzreihen entwickelbaren Funktionen, werden darin
zunachst unabhangig voneinander dargelegt. Dadurch wird insbesondere die
Tragweite des WeierstraBschen Ansatzes deutlich, die in den heute meist
gegebenen gemischten Darstellungen nicht so sichtbar wird. AuBerdem
treten die StelJen im .Aufbau der Funktionentheorie besonders klar zu
Tage, an denen das Zu sammenwirken der beiden Ansatze unumganglich zu
sein scheint."
