1956 veröffentlichten Lax und Richtmyer [6 eine Arbeit, in der unter
Benutzung funktionalanalytischer Hilfsmittel die Struktur des
Konvergenzverhaltens von Differenzapproximationen für eine große Klasse
linearer Anfangswertaufgaben bei partiellen Differential- gleichungen
aufgeklärt werden konnte. Insbesondere konnte der Satz über die
Äquivalenz der numerischen Stabilität mit der punktweisen Konvergenz
eines mit der gegebenen Anfangswertaufgabe konsistenten
Differenzenverfahrens weitestgehend unabhängig von dem der Aufga-
benstellung zugrundeliegenden normierten Raum und unabhängig vom Typ der
approximierten Aufgabe formuliert werden. Zugleich ergab sich, daß unter
gewissen Voraussetzungen neben den klassischen Lö- sungen der gegebenen
Anfangswertaufgabe auch deren verallgemeiner- te Lösungen durch das
Differenzenverfahren approximierbar sind, wenngleich Fehlerabschätzungen
oder auch nur Angaben über die Kon- vergenzordnung im Falle
verallgemeinerter Lösungen zunächst aus- blieben. In den seither
vergangenen zwei Jahrzehnten wurden mit Erfolg zahl- reiche Versuche
unternommen, diese Lax-Richtmyer-Theorie in ver- schiedenen Richtungen
zu ergänzen und zu verallgemeinern. Dabei zeigte sich insbesondere, daß
die punktweise Konvergenz der ite- rierten Differenzenoperatoren bei der
Approximation nichtlinearer Differentialgleichungen in der Regel nicht
ausreicht, um die nume- rische Brauchbarkeit eines Verfahrens zu
gewährleisten, jedoch ge- lang es, auch bei entsprechend verfeinerten
Konvergenzbegriffen un- ter Verwendung geeigneter
Stabilitätsdefinitionen Äquivalenzsätze aufzustellen und damit die
Lax-Richtmyer-Theorie einschließlich der aus ihr für konkrete Probleme
in den Anwendungsgebieten resultie- renden Forderungen auf solche
nichtlinearen Probleme zu erweitern. Naturgemäß spielte dabei die Frage
der Existenz und der numerischen Erfaßbarkeit verallgemeinerter Lösungen
nichtlinearer Probleme ei- ne nicht unerhebliche Rolle.
