Das vorliegende Buch handelt von partiellen Differentialgleichungen, d.
h. von Differentialgleichungen mit zwei oder mehr als zwei unabhangi-
gen Veranderlichen. Urn eine bestimmte Losung einer partiellen Differen-
tialgleichung festzulegen, muB man noch gewisse zusatzliche Daten vor-
schreiben. Je nach der Art dieser zusatzlichen Daten spricht man in
gewissen Fallen von Anfangswertproblemen und in anderen Fallen von
Randwertproblemen oder von Anfangs-Randwert-Problemen. Ein An-
fangswertproblem laBt sich z. B. fur die Wellengleichung I x x - I y y =
0 stellen (vgl. § 2); eine Losung I (x, y) dieser Gleichung liegt etwa
in der oberen x, y-Halbebene eindeutig fest, wenn auf der x-Achse als
Anfangskurve die Werte von lund der erst en partiellen Ableitung Iy
(Anfangswerte) bekannt sind. Ein Randwertproblem kann z. B. fUr die
Potentialgleichung Ixx ] Ivy = 0 gestellt werden (vgl. § 1); hier liegt
eine Losung I (x, y) etwa im Innern eines Kreises eindeutig fest, wenn
man die Werte von I auf dem Kreis (Randwerte) kennt. Als Bei- spiel
eines Anfangs-Randwert-Problems sei folgende Aufgabe genannt: Gesucht
ist die Losung der Wellengleichung fUr einen in der oberen x,
y-Halbebene gelegenen Halbstreifen, der von einer Strecke der x-Achse
und zwei zur y-Achse parallelen Halbgeraden begrenzt wird; auf der
Strecke der x-Achse sind die Werte von lund Iy (Anfangswerte)
vorgegebi)ll, auf den beiden Halbgeraden die Werte von I allein (Rand-
werte). Anfangs-und Randwertprobleme konnen nicht nach Belieben gestellt
werden, sondern fUr gewisse Differentialgleichungen sind nur
Anfangswertprobleme, fUr andere nur Randwertprobleme "sachgemaB" .