Introduction I. General remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 1 II. Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 III. Lie algebras: some basics . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Chapter 1 Operator calculus and
Appell systems I. Boson calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 17 II. Holomorphic canonical calculus . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 18 III. Canonical Appell systems . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 23 Chapter 2 Representations of Lie groups I. Coordinates on
Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 II. Dual
representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
III. Matrix elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37 IV. Induced representations and homogeneous spaces . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 General Appell
systems Chapter 3 I. Convolution and stochastic processes . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 44 II. Stochastic processes on Lie groups . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
III. Appell systems on Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Chapter 4 Canonical systems in several variables I. Homogeneous spaces
and Cartan decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 54 II. Induced representation and coherent states .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 62 III. Orthogonal polynomials in several variables . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Chapter 5
Algebras with discrete spectrum I. Calculus on groups: review of the
theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 83 II. Finite-difference algebra . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 85 III. q-HW algebra and basic hypergeometric
functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89 IV. su2 and Krawtchouk polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 V. e2
and Lommel polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Chapter 6
Nilpotent and solvable algebras I. Heisenberg algebras . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 113 II. Type-H Lie algebras . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Vll III. Upper-triangular matrices
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 IV. Affine and Euclidean
algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Chapter 7 Hermitian symmetric
spaces I. Basic structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 131 II. Space of rectangular matrices . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 133 III. Space of skew-symmetric matrices . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
IV. Space of symmetric matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Chapter 8 Properties of matrix elements I. Addition formulas . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 II. Recurrences . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 III. Quotient
representations and summation formulas . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 149 Chapter 9 Symbolic computations I.
Computing the pi-matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 II.
Adjoint group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 154 III. Recursive computation of matrix elements . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
